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二分法查找(all way)
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发布时间:2019-03-14

本文共 3109 字,大约阅读时间需要 10 分钟。

二分查找的应用与实现

二分查找是一种在数组查找元素位置的高效算法,时间复杂度为O(log n),广泛应用于排序数组中的元素查找、 Bounds 检查以及查找特定元素的位置等场景。其核心逻辑是通过不断缩小查找范围,直到找到目标元素或确定其不存在。

1. 基础二分查找:查找是否存在元素e

#include 
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int *a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};int findElement(int l, int r, int e) { while (l <= r) { int mid = l + (r - l > 1 ? (r - l) / 2 : 0); if (a[mid] < e) { l = mid + 1; } else if (a[mid] > e) { r = mid - 1; } else { return mid; } } return -1;}int main() { int target; while (scanf("%d", &target) != EOF) { int pos = findElement(0, 10, target); if (pos == -1) { printf("目标元素不存在\n"); } else { printf("元素在数组中的位置为:%d\n", pos); } } return 0;}

解释:该代码实现了一个基础的二分查找算法,可以用来判断一个元素是否存在于数组中。通过循环缩小查找范围,计算中间点mid,并根据当前元素与目标值的大小关系调整查找方向。当找到目标元素时,返回其位置;如果遍历结束后仍未找到,则返回-1,表示目标元素不存在。

2. 查找数组中最大值的位置

当数组中存在目标值e时,我们需要找到它在数组中的最大位置(最右侧的位置)。这可以通过将右边界的条件设置为a[mid] <= e来实现。

int findMaxPosition(int l, int r, int e) {    while (l < r) {        int mid = l + ((r - l > 1) ? (r - l + 1) / 2 : 0);        if (a[mid] <= e) {            l = mid;        } else {            r = mid;        }    }    if (a[l] == e) {        return l;    }    return -1;}

解释:在这个版本中,二分查找的终止条件发生了变化。通过将右边界的条件改为a[mid] <= e,我们逐渐缩小到最右侧的位置。最终,当循环结束时,l会停在目标值e的最右侧位置。如果目标值存在于数组中,返回该位置;否则返回-1。

3. 查找数组中最小值的位置

类似地,我们可以修改条件来查找目标值e的最左侧位置。这种情况下,左边界的条件会被调整为a[mid] >= e

int findMinPosition(int l, int r, int e) {    while (l < r) {        int mid = l + ((r - l > 1) ? (r - l) / 2 : 0);        if (a[mid] >= e) {            r = mid;        } else {            l = mid + 1;        }    }    if (a[l] == e) {        return l;    }    return -1;}

解释:在这一版本中,我们将左边界的条件改为a[mid] >= e。这样,查找过程会逐渐逼近到目标值e的最左侧位置。当循环结束时,如果找到目标值,返回其位置;否则返回-1。

4. 寻找不存在目标值时的Bounds

在不知道目标值是否存在的情况下,我们可以利用二分查找来找到:

  • 方括号的最大值(即找到第一个大于等于e的值的位置)
  • 方括号的最小值(即找到第一个小于等于e的值的位置)

这可以通过调整查找条件来实现。

查找方括号的最大值:

int findFloor(int l, int r, int e) {    while (l < r) {        int mid = l + ((r - l + 1) / 2);        if (a[mid] >= e) {            r = mid;        } else {            l = mid + 1;        }    }    return l;}

查找方括号的最小值:

int findCeil(int l, int r, int e) {    while (l < r) {        int mid = l + ((r - l) / 2);        if (a[mid] <= e) {            l = mid + 1;        } else {            r = mid;        }    }    return r;}

解释:

  • findFloor中,我们找到第一个大于等于e的值的位置。通过调整右边界的节点条件为a[mid] >= e,并逐渐将右边界向左移动。当循环结束时,l会停在第一个大于等于e的值的位置。
  • findCeil中,我们找到第一个小于等于e的值的位置。通过调整左边界的节点条件为a[mid] <= e,并逐渐将左边界向右移动。当循环结束时,r会停在第一个大于e的值的位置。

5. 二分查找浮点数值解

对于单调函数的值问题,二分法是一种直接的解决方案。以下是一个简单的浮点数值解的示例:

double binarySearch(double min, double max, double esp, double (*f)(double)) {    double begin = min;    double end = max;        while (fabs(end - begin) > esp) {        double mid = begin + (end - begin) / 2;        if (f(mid) > 0) {            begin = mid;        } else {            end = mid;        }    }        return mid;}

解释:该算法用于解决单调函数的值问题。通过不断将搜索范围缩小到中间值,并根据函数值的符号调整边界,直到找到满足精度要求的解。在较复杂的实际问题中,可能需要根据具体函数的行为和数值精度要求进行调整。

总结

通过以上方法,我们可以有效地利用二分查找解决各种场景中的查找问题,显著提升算法的效率。无论是用于整数数组还是浮点数值的单调函数问题,二分查找都提供了高效且可靠的解决方案。

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